线性代数内在原理

线性代数的内在原理

最近为了学习图形学又学了一遍线代,感觉还是没有太理解透线代。无意间看到一个讲解线代的视频[3Blue1Brown的线代中文视频],总结一下。

Base 基向量

基向量可以是任意的向量,是可以自己设定的,如在二维空间中通常取的向量为x轴方向的单位向量和y轴方向的单位向量,我们记做:

每一个向量都可以用两个基向量来进行表示。如图:

img

这里我们发现一个有趣的问题,比如你在二维空间选取了方向相同或者相反的向量,则他能表示的向量只存在于一条直线上了(降维)。如果我们两个向量都取零向量,则为降维到一个点。

由上面的总结可知公式

矩阵的相乘(几何空间意义为转换)把基向量展开我们得到公式:

这里需要注意的是矩阵的读法是从右往左,即

矩阵相乘

上面列举了2x2的矩阵和2x1的矩阵相乘的算法,那么2x2与2x2的矩阵怎么运算呢

分解为两个矩阵的相乘:

最后将其组合: